Πώς βρίσκετε το όριο του [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] καθώς το x προσεγγίζει το 0;

Απάντηση:

Εκτελέστε κάποιο πολλαπλασιασμό συζυγούς και απλοποιήστε το για να το πάρετε (xx> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Εξήγηση:

Η άμεση υποκατάσταση παράγει απροσδιόριστη μορφή #0/0#, οπότε θα πρέπει να δοκιμάσουμε κάτι άλλο.

Προσπαθήστε να πολλαπλασιάσετε # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # με # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx)

= (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx)

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Αυτή η τεχνική είναι γνωστή ως πολλαπλασιασμό σύζευξης, και λειτουργεί σχεδόν κάθε φορά. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα διαφοράς τετραγώνων # (α-β) (α + β) = a ^ 2-b ^ 2 # να απλοποιήσει τον αριθμητή ή τον παρονομαστή (στην περίπτωση αυτή ο παρονομαστής).

Θυμηθείτε αυτό # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ή # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Επομένως, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον παρονομαστή, δηλαδή # 1-cos ^ 2x #, με # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Τώρα το # sin ^ 2x # ακυρώνει:

# ((sinx)) (ακυρώστε (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) /

# = (sinx) (1 + cosx) #

Τελειώστε λαμβάνοντας το όριο αυτής της έκφρασης:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

(x-> 0) (1 + cosx) # = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_

#=(0)(2)#

#=0#