# f (x) = 15x ^ (2/3) + 5x # είναι κοίλη προς τα κάτω για όλους # x <0 #
Όπως πρότεινε ο Κιμ, ένα γράφημα πρέπει να το καταστήσει προφανές (Βλ. Κάτω μέρος αυτής της ανάρτησης).
Εναλλακτικά, Σημειώστε ότι # f (0) = 0 #
και τον έλεγχο για κρίσιμα σημεία λαμβάνοντας το παράγωγο και τη ρύθμιση σε #0#
παίρνουμε
# f '(x) = 10x ^ (- 1/3) + 5 = 0 #
ή
# 10 / x ^ (1/3) = -5 #
που απλοποιεί (εάν # x <> 0 #) προς το
# x ^ (1/3) = -2 #
# rarr # # x = -8 #
Στο # x = -8 #
#f (-8) = 15 (-8) ^ (2/3) + 5 (-8) #
#=15(-2)^2 + (-40)#
#=20#
Από (#-8,20#) είναι το μόνο κρίσιμο σημείο (εκτός από (#0,0#))
και # f (x) # μειώνεται από # x = -8 # προς το # x = 0 #
έπεται ότι # f (x) # μειώνεται σε κάθε πλευρά του (#-8,20#), Έτσι
# f (x) # είναι κοίλη προς τα κάτω όταν # x <0 #.
Πότε # x> 0 # το σημειώνουμε απλά
# g (x) = 5x # είναι ευθεία γραμμή και
# f (x) = 15x ^ (2/3) + 5x # παραμένει ένα θετικό ποσό (δηλαδή # 15x ^ (2/3) # πάνω από αυτή τη γραμμή
επομένως # f (x) # δεν είναι κοίλη προς τα κάτω για # x> 0 #.
διάγραμμα {15x ^ (2/3) + 5χ -52, 52, -26, 26}
