Πώς εντοπίζετε τον τύπο κώνου 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4 είναι, εάν υπάρχει και αν η εξίσωση δεν αντιπροσωπεύει κωνική, δηλώνει την κορυφή ή το κέντρο της;

Απάντηση:

Μια έλλειψη

Τα conics μπορούν να αναπαρασταθούν ως

# p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

όπου # p = {x, y} # και

# M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})).

Για conics # m_ {12} = m_ {21} # έπειτα # M # οι ιδιοτιμές είναι πάντα πραγματικές επειδή η μήτρα είναι συμμετρική.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι

# p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #

Ανάλογα με τις ρίζες τους, η κωνική μπορεί να ταξινομηθεί ως

1) Ίδιος κύκλος

2) Ίδιο σημάδι και διαφορετικές απόλυτες τιμές --- έλλειψη

3) Σημάδια διαφορετικά --- υπερβολή

4) Μια μηδενική ρίζα --- παραβολή

Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε

# M = ((4,0), (0,8)) #

με χαρακτηριστικό πολυώνυμο

# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

με ρίζες #{4,8}# έτσι έχουμε μια έλλειψη.

Όντας έλλειψη υπάρχει μια κανονική αναπαράσταση γι 'αυτό

# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# x_0, y_0, a, b # μπορεί να καθοριστεί ως εξής

(X-0) 2 + a ^ 2 (y-y0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 για όλες τις x RR #

δίνοντας

(2 a ^ 2 y_0 = 0), (8-a ^ 2 = 0), (2) (-8 + 2b ^ 2x_0 = 0), (4-b ^ 2 = 0): #

λύσεις που παίρνουμε

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

Έτσι

(X-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} ###############################################################