Πώς μετατρέπετε r = 1 / (4 - costheta) σε καρτεσιανή μορφή;

Απάντηση:

# 15 χ ^ 2 - 2 χ + 16 γ ^ 2 = 1 #

Εξήγηση:

Γεια σου, Socratic: Είναι πραγματικά απαραίτητο να μας πεις αυτό το ερώτημα που τέθηκε πριν από 9 λεπτά; Δεν μου αρέσει να είμαι ψέματα. Πείτε μας ότι το ζήτησαν πριν από δύο χρόνια και κανείς δεν κατάφερε να το κάνει ακόμα. Επίσης, τι συμβαίνει με τις υποτιθέμενες με τον ίδιο τρόπο διατυπωμένες ερωτήσεις που ρωτήθηκαν από πολλά μέρη; Για να μην αναφέρουμε τη Σάντα Κρουζ, τις Ηνωμένες Πολιτείες; Υπάρχουν σχεδόν σίγουρα περισσότερα από ένα, αν και ακούω αυτό που έχω στην Καλιφόρνια. Η αξιοπιστία και η φήμη είναι σημαντικές, ειδικά σε ένα χώρο εργασίας. Μην παραπλανήσετε τους ανθρώπους. Τελειώστε.

Κατά τη μετατροπή των εξισώσεων από πολικές σε ορθογώνιες συντεταγμένες η ωμή δύναμη ορθογώνια προς πολική υποκατάσταση

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = κείμενο {arctan2} (y "/," x) quad #

είναι σπάνια η καλύτερη προσέγγιση. (Σκοπεύω να δείξω σκόπιμα το τετράγωνο αντίστροφη εφαπτομένη εδώ, αλλά ας μην ξεπεραστούν.)

Ιδανικά θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τις πολικές προς ορθογώνιες αντικαταστάσεις, # x = r cos theta #

# y = r sin theta #

2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 ^ theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK, ας δούμε την ερώτηση.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Αυτές οι πολικές εξισώσεις επιτρέπουν γενικά αρνητικές # r #, αλλά εδώ είμαστε σίγουροι # r # είναι πάντα θετική.

# r (4 - cos theta) = 1 #

Αυτά νομίζω ότι είναι ελλείψεις, πράγμα που δεν έχει σημασία, αλλά μας δίνει κάποια ιδέα για το τι ελπίζουμε να μοιάζει με την ορθογώνια μορφή. Θέλουμε να επιδιώξουμε κάτι χωρίς τετραγωνικές ρίζες ή τεταρτημόρια # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # έχει τετραγωνικές ρίζες, αλλά #rcos theta = x # δεν είναι, έτσι επεκτείνουμε.

# 4r - rcos theta = 1 #

Τώρα απλά αντικαθιστούμε. θα το κάνουμε με βήματα.

# 4r -x = 1 #

# 4r = χ + 1 #

Ας πλατεία τώρα. Ξέρουμε #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (χ + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 +

# 15 χ ^ 2 - 2 χ + 16 γ ^ 2 = 1 #

Αυτή είναι μια πολύ κυκλική ελλειψοειδής εμφάνιση. (Μία μικρότερη σταθερά από #4# στο πρωτότυπο θα έδινα μια πιο εκκεντρική έλλειψη.) Θα μπορούσαμε να ολοκληρώσουμε την πλατεία για να την θέσουμε σε τυποποιημένη μορφή, αλλά ας το αφήσουμε εδώ.