Πώς μετατρέπετε r = 2 sin theta σε καρτεσιανή μορφή;

Απάντηση:

Χρησιμοποιήστε λίγες φόρμουλες και κάνετε κάποια απλοποίηση. Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Όταν ασχολείσαι με μετασχηματισμούς μεταξύ πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων, θυμηθείτε πάντα αυτούς τους τύπους:

• # x = rcostheta #
• # y = rsintheta #
• # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #

Από # y = rsintheta #, μπορούμε να δούμε ότι διαιρεί και τις δύο πλευρές # r # μας δίνει # γ / δ = sintheta #. Μπορούμε επομένως να αντικαταστήσουμε # sintheta # σε # r = 2sintheta # με # y / r #:

# r = 2sintheta #

# -> r = 2 (y / r) #

# -> r ^ 2 = 2y #

Μπορούμε επίσης να αντικαταστήσουμε # r ^ 2 # με # x ^ 2 + y ^ 2 #, επειδή # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #:

# r ^ 2 = 2y #

# -> x ^ 2 + y ^ 2 = 2y #

Θα μπορούσαμε να το αφήσουμε σε αυτό, αλλά αν σας ενδιαφέρει …

Περαιτέρω απλούστευση

Αν αφαιρέσουμε # 2y # και από τις δύο πλευρές καταλήγουμε σε αυτό:

# x ^ 2 + y ^ 2-2y = 0 #

Σημειώστε ότι μπορούμε να ολοκληρώσουμε την πλατεία # y ^ 2-2y #:

# x ^ 2 + (y ^ 2-2y) = 0 #

# -> x ^ 2 + (y ^ 2-2y + 1) = 0 + 1 #

# -> x ^ 2 + (γ-1) ^ 2 = 1 #

Και τι γίνεται με αυτό! Καταλήγουμε με την εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο # (h, k) -> (0,1) # και την ακτίνα #1#. Γνωρίζουμε ότι οι πολικές εξισώσεις της φόρμας # y = asintheta # σχηματίζουμε κύκλους, και το επιβεβαιώσαμε χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες.