Έστω P (x_1, y_1) ένα σημείο και ας είναι η γραμμή με την εξίσωση ax + by c = 0.Δείξτε την απόσταση d από το P-> l δίνεται από: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2); Βρείτε την απόσταση d του σημείου P (6,7) από τη γραμμή l με την εξίσωση 3x + 4y = 11?

Απάντηση:

# d = 7 #

Αφήνω # l-> a x + b y + c = 0 # και # p_1 = (x_1, y_1) # ένα σημείο δεν είναι ενεργοποιημένο #μεγάλο#.

Αν το υποθέσουμε #b ne 0 # και καλώντας # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # μετά την αντικατάσταση # a = - (a x + c) / b # σε # d ^ 2 # έχουμε

d = 2 = (x-x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2 #. Το επόμενο βήμα είναι να βρείτε το # d ^ 2 # ελάχιστο όσον αφορά #Χ# έτσι θα βρούμε #Χ# έτσι ώστε

= d (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2a (c + ax) / b + y_1). Αυτό συμβαίνει για

# x = (b ^ 2x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Τώρα, αντικαθιστώντας την τιμή αυτή # d ^ 2 # εμεις αποκτουμε

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # Έτσι

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #

Τώρα δίνεται

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # και # ρ_1 = (6,7) # έπειτα

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #