Πώς λύνετε το σύστημα x ^ 2 + y ^ 2 = 9 και x-3y = 3;

Απάντηση:

Υπάρχουν δύο λύσεις σε αυτό το σύστημα: τα σημεία #(3,0)# και #(-12/5, -9/5)#.

Εξήγηση:

Αυτό είναι ένα ενδιαφέρον σύστημα εξισώσεων, επειδή δίνει περισσότερες από μία λύσεις ανά μεταβλητή.

Γιατί συμβαίνει αυτό είναι κάτι που μπορούμε να αναλύσουμε αυτή τη στιγμή. Η πρώτη εξίσωση, είναι η τυποποιημένη μορφή για έναν κύκλο με ακτίνα #3#. Το δεύτερο είναι μια ελαφρώς βρώμικη εξίσωση για μια γραμμή. Εκκαθάριση, θα μοιάζει με αυτό:

# y = 1/3 x - 1 #

Έτσι φυσικά αν θεωρήσουμε ότι μια λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι ένα σημείο όπου η γραμμή και ο κύκλος θα τέμνονται, δεν θα πρέπει να εκπλαγούμε να μάθουμε ότι θα υπάρξουν δύο λύσεις. Ένα, όταν η γραμμή εισέρχεται στον κύκλο και ένα άλλο όταν φεύγει. Δείτε αυτό το γράφημα:

γράφημα {(x ^ 2 + y ^ 2-9) ((1/3) χ-1-γ) = 0 -10,10,5,5

Πρώτα αρχίζουμε με το χειρισμό της δεύτερης εξίσωσης:

# x - 3y = 3 #

# x = 3 + 3γ #

Μπορούμε να εισαγάγουμε αυτό απευθείας στην πρώτη εξίσωση για την επίλυση για # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

# y (9 + 5y) = 0 #

Προφανώς αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Ενα για # y = 0 # και ένα άλλο για # 9 + 5y = 0 # που σημαίνει # y = -9 / 5 #.

Τώρα μπορούμε να λύσουμε για το #Χ# σε κάθε μία από αυτές # y # αξίες.

Αν # y = 0 #:

# x - 3 * 0 = 3 #

# x = 3 #

Αν # y = -9 / 5 #:

# x + 3 * (9/5) = 3 #

# x + 27/5 = 15/5 #

# x = -12 / 5 #

Έτσι οι δύο λύσεις μας είναι τα σημεία: #(3,0)# και #(-12/5, -9/5)#. Αν κοιτάξετε πίσω στο γράφημα, μπορείτε να δείτε ότι αυτά αντιστοιχούν σαφώς στα δύο σημεία στα οποία η γραμμή διέσχιζε τον κύκλο.