Αποδείξτε ότι αν u είναι ένας παράξενος ακέραιος, τότε η εξίσωση x ^ 2 + x-u = 0 δεν έχει λύση που είναι ακέραιος;

Απάντηση:

Υπόδειξη 1: Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση αυτή # x ^ 2 + x-u = 0 # με # u # ένας ακέραιος έχει λύση ακέραιος # n #. Δείξε αυτό # u # είναι αδύνατο.

Εξήγηση:

Αν # n # είναι μια λύση όπου υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός # m # έτσι ώστε

(x + n) (x + m) # x =

Οπου #nm = u # και # m-n = 1 #

Αλλά η δεύτερη εξίσωση συνεπάγεται αυτό # m = n + 1 #

Τώρα, και οι δύο # m # και # n # είναι ακέραιοι, έτσι ένας από # n #, # n + 1 # είναι ζωντανός και #nm = u # είναι αδύνατο.

Πρόταση

Αν # u # είναι ένας περίεργος ακέραιος, τότε η εξίσωση # x ^ 2 + x - u = 0 # δεν έχει λύση που να είναι ένας ακέραιος αριθμός.

Απόδειξη

Υποθέστε ότι υπάρχει μια ακέραια λύση # m # της εξίσωσης:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

όπου # u # είναι ένας περιττός ακέραιος αριθμός. Πρέπει να εξετάσουμε τις δύο πιθανές περιπτώσεις:

# m # είναι περίεργο. ή

# m # είναι αδύνατο.

Πρώτον, ας εξετάσουμε την περίπτωση όπου # m # είναι περίεργο, τότε υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός #κ# έτσι ώστε:

# m = 2k + 1 #

Τώρα, από τότε # m # είναι η ρίζα της εξίσωσης μας, πρέπει να είναι ότι:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

Και έχουμε μια αντίφαση, όπως # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # είναι αδύνατο, αλλά # u # είναι περίεργο.

Στη συνέχεια, ας εξετάσουμε την περίπτωση όπου # m # είναι ασταθής, τότε υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός #κ# έτσι ώστε:

# m = 2k #

Ομοίως, από τότε # m # είναι η ρίζα της εξίσωσης μας, πρέπει να είναι ότι:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

Και, πάλι, έχουμε μια αντίφαση, όπως # 2 (2k ^ 2 + k) # είναι αδύνατο, αλλά # u # είναι περίεργο.

Έτσι έχουμε αποδείξει ότι δεν υπάρχει ακέραια λύση της εξίσωσης # x ^ 2 + x - u = 0 # όπου # u # είναι ένας περιττός ακέραιος αριθμός.

Εξ ου και η πρόταση αποδεικνύεται. QED

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Αν # x ^ 2 + x-u = 0 # έπειτα

# x (x + 1) = u # τότε αν #Χ# είναι ένας ακέραιος αριθμός, # x (x + 1) # είναι ακόμη, είναι μια αντίφαση επειδή # u # από την υπόθεση είναι περίεργη.