Ας S είναι ένα τετράγωνο της περιοχής της μονάδας. Εξετάστε κάθε τετράπλευρο που έχει μία κορυφή σε κάθε πλευρά του S. Εάν τα a, b, c και d δηλώνουν τα μήκη των πλευρών του τετράπλευρου, αποδείξτε ότι 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4;

Αφήνω #Α Β Γ Δ# να είναι ένα τετράγωνο της περιοχής της μονάδας.

Έτσι # AB = BC = CD = DA = 1 # μονάδα.

Αφήνω # PQRS # να είναι ένα τετράπλευρο που έχει μια κορυφή σε κάθε πλευρά της πλατείας. Εδώ ας # ΡΟ = β, QR = c, RS = dandSP = a #

Εφαρμόζοντας το Pythagoras thorem μπορούμε να γράψουμε

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

(1-χ) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^

= 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w)

= 2 + 2 (1 + χ ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-zw)

= 2 + 2 ((χ-1/2) ^ 2 + (γ-1/2) ^ 2 + (z-1/2)

Τώρα από το πρόβλημα που έχουμε

0 = 0 = 0 = 0 = 0 =

= 0 = y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

0 = 0 <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

0 = <0 <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1 /

Ως εκ τούτου

2 = 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2 ^