Παρακαλώ, κάποιος να βοηθήσει στην επίλυση του προβλήματος;

Απάντηση:

Δοκιμάστε την αλλαγή # x = tan u #

Δες παρακάτω

Εξήγηση:

Ξέρουμε ότι # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Με την προτεινόμενη αλλαγή έχουμε

# dx = sec ^ 2u du #. Αφήνει να αντικατασταθεί στο ολοκλήρωμα

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ 3/2 du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Έτσι, ακυρώνοντας την αλλαγή:

# u = arctanx # και τελικά έχουμε

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Απάντηση:

(1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Εξήγηση:

Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρική υποκατάσταση για την επίλυση αυτού του ολοκλήρου. Για να γίνει αυτό, θα κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ορθής γωνίας #Delta ABC # και ετικέτα τις πλευρές με τέτοιο τρόπο ώστε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Pythagoras μπορούμε να αντλήσουμε τις εκφράσεις που βλέπουμε σήμερα στο επιχείρημα του ολοκληρώματος ως εξής:

Γωνία # / _ Β = theta # έχει αντίθετη πλευρά #Χ# και τη γειτονική πλευρά #1#. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (ΑΒ) ^ 2 + (AC) ^ 2 # αποτελέσματα σε:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + χ ^ 2 # όπως φαίνεται.

Τώρα, ας γράψουμε τις τρεις πιο βασικές τριγωνομετρικές λειτουργίες για #θήτα#:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Τώρα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις εξισώσεις για να λύσουμε διάφορα τμήματα του αναπόσπαστου επιχειρήματος σε τριγωνομετρικούς όρους. Ας χρησιμοποιήσουμε # tantheta #:

# tantheta = x #

Ας πάρουμε παράγωγα και των δύο πλευρών:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Από το # costheta # εξίσωση, μπορούμε να λύσουμε για #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Αν θέτουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης στη δύναμη του #3# παίρνουμε:

(1 + x ^ 2) ^ 3 ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 =

Τώρα, μπορούμε να υποκαταστήσουμε αυτό που έχουμε υπολογίσει στο ολοκληρωμένο πρόβλημα για να το μετατρέψουμε σε ένα τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetadtheta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) dtheta = intcancelcolor / (secthetacancelcolor (κόκκινο) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) dtheta = intcosthetad theta = sintheta +

Τώρα, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε # sintheta # και να μετατρέψουμε την απάντησή μας πίσω σε μια αλγεβρική έκφραση όσον αφορά #Χ#:

(1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #