Δείξτε ότι, sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + 2sqrt (-2 + .............)))) = 1 + -i;

Απάντηση:

Μεταβαίνει σε # 1 + i # (στην αριθμομηχανή Ti-83)

Εξήγηση:

Αφήνω # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {

Πρώτον, υποθέτοντας ότι αυτή η άπειρη σειρά συγκλίνει (δηλαδή αν υποθέσουμε ότι το S υπάρχει και παίρνει την αξία ενός σύνθετου αριθμού), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}

# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {

# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #

Και αν λύσετε το S:

# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2-2S + 2 = 0 #

και εφαρμόζοντας την τετραγωνική φόρμουλα που παίρνετε:

(2) = {frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 1

Συνήθως η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας παίρνει τη θετική τιμή έτσι # S = 1 + i #

Έτσι, αν συγκλίνει τότε πρέπει να συγκλίνει προς # 1 + i #

Τώρα το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αποδείξετε ότι συγκλίνει ή αν είστε τεμπέλης σαν εμένα τότε μπορείτε να συνδέσετε # sqrt {-2} # σε μια αριθμομηχανή που μπορεί να χειριστεί φανταστικούς αριθμούς και να χρησιμοποιήσει τη σχέση επανάληψης:

# f (1) = sqrt {-2} #

# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #

Το επαναλάμβανα πολλές φορές στο Ti-83 μου και διαπίστωσα ότι έρχεται πιο κοντά, για παράδειγμα, αφού το επαναλάμβανα κάπου 20 φορές πήρα περίπου

# 1.000694478 + 1.001394137i #

αρκετά καλή προσέγγιση