Θα με βοηθήσεις? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Απάντηση:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Εξήγηση:

αυτό απαιτεί ολοκλήρωση με μέρη ως εξής. Τα όρια θα παραλειφθούν μέχρι το τέλος

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (κόκκινο) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv- intv (du) / (dv)

(2χ) => du = 2e ^ (2χ) dx #

# (dx) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (κόκκινο) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται επίσης από τμήματα

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2χ) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => ν = sinx #

(2) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx # # (κόκκινο) (I) = - e ^

#color (κόκκινο) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (κόκκινο)

#: 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# Ι = (e ^ (2χ) (2sinx-cosx)) / 5 #

τώρα θέστε τα όρια μέσα

# 1 = (e ^ (2χ) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

= (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0)

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Απάντηση:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Εξήγηση:

Αν και η απάντηση που παρέχεται είναι τέλεια, ήθελα απλώς να επισημάνω έναν ευκολότερο τρόπο να φτάσω στην ίδια απάντηση χρησιμοποιώντας μια ελαφρώς πιο προηγμένη προσέγγιση - ότι μέσω σύνθετων αριθμών.

Αρχίζουμε με τη γνωστή σχέση

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

όπου # i = sqrt {-1} #, και σημειώστε ότι αυτό σημαίνει ότι

(x) = im (e ^ {ix}) υποδηλώνει e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {2 + i}

όπου # Im # υποδηλώνει το φανταστικό μέρος.

Έτσι

(x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

(1) = (1) (1) (2) (2) (2) Εγώ})#

(1-i + i-pi) (2-i)) = 1/5 Im ((1 + # #

# = 1/5 ((-) φορές (-1) + e ^ pi φορές 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #