Πώς βρίσκεις τα άκρα για το g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5);

Απάντηση:

# g (x) # δεν έχει μέγιστο και παγκόσμιο και τοπικό ελάχιστο # x = -1 #

Εξήγηση:

Σημειώστε ότι:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 =

Έτσι η λειτουργία

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

ορίζεται για κάθε # x σε RR #.

Εκτός από το # f (y) = sqrty # είναι μια μονοτονική αυξανόμενη συνάρτηση, τότε κάθε εξόγκωμα για # g (x) # είναι επίσης ένα άκρο για:

# f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Αλλά αυτό είναι ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης με κορυφαίο θετικό συντελεστή, επομένως δεν έχει μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.

Από #(1)# μπορούμε εύκολα να το δούμε ως εξής:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

και:

# x + 1 = 0 #

μόνο όταν # x = -1 #, έπειτα:

# f (x)> = 4 #

και

# f (x) = 4 #

μόνο για # x = -1 #.

Συνεπώς:

# g (x)> = 2 #

και:

# g (x) = 2 #

μόνο για # x = -1 #.

Μπορούμε να συμπεράνουμε αυτό # g (x) # δεν έχει μέγιστο και παγκόσμιο και τοπικό ελάχιστο # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, #Χ##σε## RR #

Χρειαζόμαστε # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ##Χ##σε## RR #:

(x ^ 2 + 2x + 5)) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

# g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Για # x <-1 # έχουμε # g '(x) <0 # Έτσι #σολ# μειώνεται αυστηρά # (- oo, -1) #

• Για #x> ##-1# έχουμε # g '(x)> 0 # Έτσι #σολ# αυξάνεται αυστηρά # - - 1, + oo) #

Ως εκ τούτου #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ##Χ##σε## RR #

Σαν άποτέλεσμα #σολ# έχει ένα παγκόσμιο ελάχιστο σε # x_0 = -1 #, # g (-1) = 2 #