Απάντηση:
# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #
με # a = d / 2. b = (2-d) / 2. c = 0 #
# P_n ^ (d + 2) # είναι μια πολυγωνική σειρά βαθμού, # r = d + 2 #
παράδειγμα, δίνοντας μια αριθμητική ακολουθία παρακάμπτοντας τον αριθμό # d = 3 #
θα έχετε ένα #color (κόκκινο) (πενταγωνικό) # αλληλουχία:
# P_n ^ χρώμα (κόκκινο) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # δίνοντας # P_n ^ 5 = {1, χρώμα (κόκκινο) 5, 12, 22,35,51, cdots} #
Εξήγηση:
Μια πολυγωνική αλληλουχία κατασκευάζεται με τη λήψη του #απείρως μικρός# άθροισμα μιας αριθμητικής ακολουθίας. Κατά τον υπολογισμό αυτό θα ήταν μια ολοκλήρωση.
Έτσι, η βασική υπόθεση είναι:
Δεδομένου ότι η αριθμητική ακολουθία είναι γραμμική (σκεφτείτε τη γραμμική εξίσωση) τότε η ολοκλήρωση της γραμμικής ακολουθίας θα οδηγήσει σε μια πολυωνυμική ακολουθία του βαθμού 2.
Τώρα για να δείξει αυτή την υπόθεση
Ξεκινήστε με μια φυσική ακολουθία (επιλέξτε την καταμέτρηση ξεκινώντας από 1)
# a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #
βρείτε το n - άθροισμα του #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #
# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #
#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n · #
#ένα# είναι η αριθμητική ακολουθία με
# a_n = a_1 + d (n-1). a_1 = 1. d = 1 #
(1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1) / 2n = n (n + 1) / 2 #
#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #
Έτσι με d = 1 η ακολουθία είναι της μορφής # P_n ^ 3 = an ^ 2 + bn + c #
με # a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #
Τώρα γενικεύστε για έναν αυθαίρετο μετρητή παρακάμπτοντας #color (κόκκινο) d #, #color (κόκκινο) d σε χρώμα (μπλε) ZZ # και # a_1 = 1 #:
# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + χρώμα (κόκκινο) d (n-1)) /
# P_n ^ (d + 2) = (2 + χρώμα (κόκκινο) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = χρώμα (κόκκινο) d / 2n ^ 2 + (2 χρώματα (κόκκινο)
Ποια είναι μια γενική μορφή # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #
με # a = χρώμα (κόκκινο) d / 2; b = (2 χρώματα (κόκκινο) d) / 2. c = 0 #
