Δύο δορυφόροι P_ "1" και P_ "2" περιστρέφονται σε τροχιές ακτίνων R και 4R. Ο λόγος των μέγιστων και ελάχιστων γωνιακών ταχυτήτων της γραμμής που συνδέει τα Ρ_ "1" και Ρ_ "2" είναι;

Απάντηση:

#-9/5#

Εξήγηση:

Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Kepler, # T ^ 2 propto R ^ 3 υποδηλώνει ωμέγα προπτό R ^ {- 3/2} #, αν η γωνιακή ταχύτητα του εξωτερικού δορυφόρου είναι #ωμέγα#, εκείνη της εσωτερικής είναι #omega φορές (1/4) ^ {- 3/2} = 8 ωμέγα #.

Ας το εξετάσουμε # t = 0 # να είναι μια στιγμή που οι δύο δορυφόροι είναι κολλητικοί με τον μητρικό πλανήτη και ας πάρουμε αυτήν την κοινή γραμμή ως #Χ# άξονας. Στη συνέχεια, οι συντεταγμένες των δύο πλανητών στο χρόνο # t # είναι # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # και # (4R cos (ωμέγα t), 4R sin (ωμέγα t)) #, αντίστοιχα.

Αφήνω #θήτα# είναι η γωνία που η γραμμή που συνδέει τους δύο δορυφόρους με τη γραμμή #Χ# άξονας. Είναι εύκολο να το δείτε

(4 omega t) -Rcos (8 ωμέγα t)) / (4R sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 ωμέγα t)) #

Αποδόσεις διαφοροποίησης

(8 ωμέγα t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) # # 2 ^ theta (d theta) / dt = d / dt

# = (4 cos (omega t) -cos (8 ωμέγα t)) ^ 2 φορές #

(q ωμέγα t) -cos (8 ωμέγα t)) (4 ωμέγα cos (omega t) -8omega cos (8 ωμέγα t)) - #

(4 ωμέγα t) -sin (8 ωμέγα t)) (- 4omega sin (ωμέγα t) + 8 ωμέγα αμαρτία (8 ωμέγα t)) #

Ετσι

# 4 (cos φ (omega t) -cos (8 ωμέγα t)) ^ 2 1 + t))) ^ 2 (d theta) / dt #

= 4 ωμέγα (4 cos φ ^ (ωμέγα t) -9 cos (ωμέγα t) cos (8 ωμέγα t) + 2 cos ^ 2 (ωμέγα t)

# qquad qquad + (4 sin ^ 2 (ωμέγα t) -9 sin (ωμέγα t) cos (8 ωμέγα t) + 2sin ^ 2 (ωμέγα t)

# = 4 ωμέγα 6-9cos (7 ωμέγα t) υποδηλώνει #

# (17 -8 cos (7 ωμέγα t)) (d theta) / dt = 12 ωμέγα (2 - 3 cos (7 ωμέγα t)

(7 ωμέγα t)) / (17 -8 cos (7 ωμέγα t)) ισοδύναμο 12 ωμέγα f (cos (7 ωμέγα t)) #

Όπου η λειτουργία

# f (x) = (2-3χ) / (17-8χ) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8χ) #

έχει το παράγωγο

# f ^ '(χ) = -35 / (17-8χ) ^ 2 <0 #

και κατά συνέπεια μειώνεται μονοτονικά στο διάστημα #-1,1#.

Έτσι, η γωνιακή ταχύτητα # (d theta) / dt # είναι μέγιστο όταν #cos (7 ωμέγα t) # είναι ελάχιστο και αντίστροφα.

Ετσι, # (d theta) / dt) _ "max" = 12 ωμέγα (2 - 3 φορές (-1)) / (17-8 φορές (-1)

# qquad qqad qqad qqad = 12 ωμέγα φορές 5/25 = 12/5 ωμέγα #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 ωμέγα (2 - 3 φορές 1) / (17-8 φορές 1)

# qquad qquad qquad qquad = 12 ωμέγα φορές (-1) / 9 = -4/3 ωμέγα #

και έτσι ο λόγος μεταξύ των δύο είναι:

# 12/5 ωμέγα: -4/3 ωμέγα = -9: 5 #

Σημείωση Το γεγονός οτι # (d theta) / dt # το σημάδι αλλαγών είναι η αιτία για την αποκαλούμενη εμφανή οπισθοδρομική κίνηση