Η ενσωμάτωση του 1 / (1 + x ^ 3) dx;

Απάντηση:

# 1 / 3in | x + 1 | -1 / 6in | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x1) / sqrt3)

Εξήγηση:

Ξεκινήστε παραγοντοποιώντας τον παρονομαστή:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Τώρα μπορούμε να κάνουμε μερικά κλάσματα:

= 1 / x + 3) = 1 / (x + 1) (x ^ 2-x + 1) +1) #

Μπορούμε να βρούμε #ΕΝΑ# χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κάλυψης:

# A = 1 / ((κείμενο (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Στη συνέχεια μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (χ + 1)

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + Β) χ ^ 2 + (Β + C-1/3)

Αυτό δίνει τις ακόλουθες εξισώσεις:

# 1/3 + Β = 0 -> Β = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ξαναγράψουμε το αρχικό μας ολοκλήρωμα:

(x + 2) + (x + 1) x (x + 1) dx #

Το πρώτο ολοκλήρωμα μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μια ρητή u-αντικατάσταση, αλλά είναι μάλλον σαφές ότι η απάντηση είναι # n | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx)

Μπορούμε να χωρίσουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα σε δύο:

(x-2 + xx) = dx = 1 / 2int (2x-4)

= 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int

Ο λόγος για την πικρία με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση από #2# είναι να καταστήσει ευκολότερη τη χρήση του παρονομαστή αριστερού χειροκίνητου.

Θα καλέσω το αριστερό ενσωματωμένο Integral 1 και το δεξί integral Integral 2

Ενσωματωμένο 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Δεδομένου ότι έχουμε ήδη προετοιμάσει αυτό το ολοκληρωμένο για υποκατάσταση, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να υποκαταστήσουμε # u = x ^ 2-x + 1 #, και το παράγωγο είναι # 2x-1 #, γι 'αυτό διαιρούμε με αυτό να ενσωματώσουμε σε σχέση με # u #:

#int ακύρωση (2x-1) / (ακύρωση (2x-1) * u) du = int

Ενσωματωμένη 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Θέλουμε να πάρουμε αυτό το ενιαίο στη μορφή:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Για να γίνει αυτό, πρέπει να συμπληρώσουμε το τετράγωνο για τον παρονομαστή:

(x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

(X-1/2) ^ 2 + 3/4) dx # (3)

Θέλουμε να εισαγάγουμε μια ου-υποκατάσταση έτσι ώστε:

# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Πολλαπλασιάζουμε με το παράγωγο σε σχέση με # u # να ενσωματώσει σε σχέση με # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

(3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 /

= 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Ολοκλήρωση του αρχικού ολοκληρώματος

Τώρα που γνωρίζουμε την απάντηση στο Integral 1 και το Integral 2, μπορούμε να τις συνδέσουμε πίσω στην αρχική έκφραση για να λάβουμε την τελική μας απάντηση:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x1) / sqrt3)

= 1 / 3in | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x1) / sqrt3)

Απάντηση:

# 1 / 3in (x + 1) -1 / 6n1 (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3)

Εξήγηση:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (χ ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3δχ) / (χ ^ 2-χ + 1) * (χ + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1)-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1)

=# 1 / 3int dx / (χ + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1)

=(X + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1)

=(X + 1) + C-1/6 int (2χ-4) / (χ ^ 2-χ + 1)

=(X + 1) + C-1/6 int (2χ-1) / (χ ^ 2-χ + 1)+# 1/6 int 3 / (χ ^ 2-χ + 1) * dx #

=# 1 / 3in (χ + 1) -1 / 6ηη (χ ^ 2-χ + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3in (χ + 1) -1 / 6ηη (χ ^ 2-χ + 1) + C #+#int (2dx) / (4χ ^ 2-4χ + 4) #

=# 1 / 3in (χ + 1) -1 / 6ηη (χ ^ 2-χ + 1) + C #+#int (2δχ) / ((2χ-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3in (x + 1) -1 / 6n1 (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3)