Ποια είναι η κλίση της γραμμής που είναι κανονική στην εφαπτόμενη γραμμή f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) σε x = (15pi)

Απάντηση:

# => γ = 0.063 (χ - (15ρ) / 8) - 1.08 #

Διαδραστικό γράφημα

Εξήγηση:

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε # f '(x) # στο # x = (15pi) / 8 #.

Ας κάνουμε αυτόν τον όρο με βάση τον όρο. Για το # sec ^ 2 (x) # σημειώστε ότι έχουμε δύο λειτουργίες ενσωματωμένες μεταξύ τους: # x ^ 2 #, και #sec (x) #. Έτσι, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε εδώ έναν κανόνα αλυσίδας:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)

#color (μπλε) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Για τη 2η θητεία, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε έναν κανόνα προϊόντος. Ετσι:

d / dxcos (x-pi / 4)) = χρώμα (κόκκινο) (d / dx (x)) cos (x-pi /))(Χ)#

#color (μπλε) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Μπορεί να αναρωτιέστε γιατί δεν χρησιμοποιήσαμε έναν κανόνα αλυσίδας για αυτό το μέρος, αφού έχουμε ένα # (x-pi / 4) # μέσα στο συνημίτονο. Η απάντηση είναι σιωπηρά, αλλά το αγνοήσαμε. Παρατηρήστε πώς το παράγωγο του # (x-pi / 4) # είναι απλά 1; Επομένως, ο πολλαπλασιασμός αυτός δεν αλλάζει τίποτα, οπότε δεν το γράφουμε στους υπολογισμούς.

Τώρα, τα βάζουμε όλα μαζί:

(x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4) = χρώμα (βιολετί) (2sec ^ 4)) #

Προσέξτε τα σημάδια σας.

Τώρα, πρέπει να βρούμε την κλίση της γραμμής εφαπτομένης # f (x) # στο # x = (15pi) / 8 #. Για να γίνει αυτό, απλώς συνδέουμε αυτήν την τιμή # f '(x) #:

(15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin (15pi) / 8) = (2sec ^ 2 (15pi) / 8-pi / 4)) = χρώμα (ιώδες) (~~ -6.79) #

Ωστόσο, αυτό που θέλουμε δεν είναι η γραμμή εφαπτόμενη στο f (x), αλλά στη γραμμή κανονικός σε αυτό. Για να το πετύχουμε αυτό, παίρνουμε μόνο την αρνητική αμοιβαιότητα της κλίσης παραπάνω.

# m_ (κανονική) = -1 / -15.78 χρώμα (βιολετί) (~~ 0.015) #

Τώρα, απλά ταιριάζουμε τα πάντα σε μορφή κλίσης σημείου:

# y = m (x-x_0) + y_0

# => γ = 0.063 (χ - (15ρ) / 8) - 1.08 #

Ρίξτε μια ματιά σε αυτό το διαδραστικό γράφημα για να δείτε τι μοιάζει με αυτό!

Ελπίδα ότι βοήθησε:)