Απάντηση:
Κάνετε κάποιο συζευγμένο πολλαπλασιασμό, χρησιμοποιήστε τις ταυτότητες trigon και απλοποιήστε. Δες παρακάτω.
Εξήγηση:
Θυμηθείτε την ταυτότητα του Πυθαγορείου # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Διαχωρίστε τις δύο πλευρές από # cos ^ 2x #:
# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #
# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #
Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σημαντική ταυτότητα.
Ας επικεντρωθούμε στην έκφραση αυτή:
# secx + 1 #
Σημειώστε ότι αυτό ισοδυναμεί με # (secx + 1) / 1 #. Πολλαπλασιάστε το επάνω και το κάτω μέρος από # secx-1 # (αυτή η τεχνική είναι γνωστή ως πολλαπλασιασμός συζυγών):
# (δευτερόλεπτα + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #
# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #
# -> (sec ^ 2X-1) / (secx-1) #
Από # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, το βλέπουμε αυτό # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Επομένως, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμητή με # tan ^ 2x #:
# (tan ^ 2x) / (secx-1) #
Το πρόβλημά μας τώρα διαβάζεται:
# (tan ^ 2) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1)
Έχουμε έναν κοινό παρονομαστή, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα στην αριστερή πλευρά:
# (tan ^ 2) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1)
(1-cosx) # (-)
Οι εφαπτομενικές ακυρώσεις:
# (ακυρώστε (tan ^ 2x) + 1-ακυρώστε (tan ^ 2x)) / (secx-1)
Αφήνοντας μας με:
# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Από # secx = 1 / cosx #, μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως εξής:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
Προσθέτοντας κλάσματα στον παρονομαστή, βλέπουμε:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
1 - cosx - (cosx) / (cosx) = cosx / (1 - cosx) #
# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα # 1 / (α / β) = β / α #, έχουμε:
# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #
Και αυτό συμπληρώνει την απόδειξη.
# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2X) / (secx-1) #
# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1)
= (δευτερόλεπτα 2χ-1 + 1-tan ^ 2χ) / (secx-1) #
= = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #
#color (κόκκινο) ("θέση", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #
# = cosx / (cosxsecx-cosx) #
#color (κόκκινο) ("τοποθέτηση", cosxsecx = 1) #
# = cosx / (1-cosx) = RHS #
