Πώς να λύσετε το intexxcosxdx;

Απάντηση:

(x) + cos (x)) + C # (x) + cos (x)

Εξήγηση:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Θα χρησιμοποιήσουμε την ενσωμάτωση με τμήματα, κάτι που το δηλώνει #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Χρησιμοποιήστε την ενσωμάτωση με μέρη, με # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, και # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Χρησιμοποιήστε την ενσωμάτωση από τα μέρη ξανά στο δεύτερο ολοκλήρωμα, με # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, και # v = -cos (x) #:

#######################################################################

Τώρα, θυμηθείτε ότι ορίσαμε # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Έτσι, η παραπάνω εξίσωση γίνεται η ακόλουθη (θυμίζοντας να προσθέσουμε μια σταθερά ολοκλήρωσης):

# Ι = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (χ) -I + C #

(X) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)

= I / 1e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # έχουμε

(x) = (x) = x (x) = x (x)

αλλά (1 + i) x = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

= (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx)

και τελικά

#int e ^ x cos xdx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #