Πώς να λύσετε με την ολοκλήρωση;

Απάντηση:

# Q = (15 / 2,0) #

# Ρ = (3,9) #

# "Περιοχή" = 117/4 #

Εξήγηση:

Το Q είναι το χ-υποκείμενο της γραμμής # 2χ + γ = 15 #

Για να βρείτε αυτό το σημείο, αφήστε # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Έτσι # Q = (15 / 2,0) #

Το P είναι ένα σημείο υποκλοπής μεταξύ της καμπύλης και της γραμμής.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2χ + γ = 15 "" (2) #

Υπο #(1)# σε #(2)#

# 2x + χ ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (χ-3) = 0 #

# x = -5 # ή # x = 3 #

Από το γράφημα, η συντεταγμένη χ του Ρ είναι θετική, έτσι μπορούμε να απορρίψουμε # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. Ρ = (3,9) #

διάγραμμα {(2χ + γ-15) (χ ^ 2-γ) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Τώρα για την περιοχή

Για να βρείτε την συνολική έκταση αυτής της περιοχής, μπορούμε να βρούμε δύο περιοχές και να τις προσθέσουμε μαζί.

Αυτές θα είναι η περιοχή κάτω από # y = x ^ 2 # από 0 έως 3, και την περιοχή κάτω από τη γραμμή από 3 έως 15/2.

# "Περιοχή κάτω από την καμπύλη" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Μπορούμε να επεξεργαστούμε την περιοχή της γραμμής μέσω της ολοκλήρωσης, αλλά είναι ευκολότερο να την αντιμετωπίσουμε σαν ένα τρίγωνο.

# "Περιοχή κάτω από τη γραμμή" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#: "συνολική έκταση σκιασμένης περιοχής" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Απάντηση:

Για 3 & 4

Τομ έχει κάνει 10

Εξήγηση:

3

(x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

(x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Απάντηση:

Δες παρακάτω:

Προειδοποίηση: Μεγάλη απάντηση!

Εξήγηση:

Για (3):

Χρήση της ιδιότητας:

(x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Ως εκ τούτου:

(x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5f (x) dx #

Για (4):

(το ίδιο πράγμα)

(x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

(x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_2 2 3 f (x) dx #

Ωστόσο, πρέπει να ανταλλάξουμε τα όρια του ολοκλήρου, έτσι:

# int_3 ^ -2f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Ετσι:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Για το 10 (α):

Έχουμε δύο λειτουργίες που τέμνονται στο #Π#, έτσι στο #Π#:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Έστρεψα τη λειτουργία γραμμής σε μορφή διασταύρωσης κλίσης)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (χ-3) = 0 #

Έτσι # x = 3 # καθώς είμαστε στα δεξιά της # y # άξονα, έτσι # x> 0 #.

(εισαγωγή # x = 3 # σε οποιαδήποτε από τις λειτουργίες)

# y = -2x + 15 #

# γ = -2 (3) + 15 #

# γ = 15-6 = 9 #

Έτσι η συντεταγμένη του #Π# είναι #(3,9)#

Για # Q #, η γραμμή # y = -2x + 15 # κόβει το # y #- Άξια, έτσι # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Έτσι # Q # βρίσκεται στο #(7.5, 0)#

Για το 10 (β).

Θα κατασκευάσω δύο ολοκληρώματα για να βρω την περιοχή. Θα λύσω ξεχωριστά τα ολοκληρώματα.

Η περιοχή είναι:

(x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

(1) = (1) (2) (2) (2)

(Επίλυση του πρώτου ολοκληρωμένου)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3 /

(αντικαταστήστε τα όρια στην ενσωματωμένη έκφραση, θυμηθείτε:

Κάτω όριο για να βρούμε την τιμή ολοκλήρου)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(λύστε το δεύτερο ολοκλήρωμα)

(2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (2x2) / 2 + 15x =

(όρια υποκατάστατων: Ανώτερο-κάτω)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15)

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = 9 + (81/4) #

# Α = (36/4) + (81/4) #

# Α = (117/4) #