Απάντηση:
Οι 3 ρίζες είναι # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
Σημείωση Δεν μπορώ να βρω το σύμβολο μακριού τμήματος, έτσι θα χρησιμοποιήσω το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας στη θέση του.
Εξήγηση:
# f (x) = 4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9 #
# f (1) = 4 * 1 ^ 3-4 * 1 ^ 2-9 * 1 + 9 = 4-4-9 + 9 = 0 #
Αυτό σημαίνει ότι το x = 1 είναι μια ρίζα και # (x-1) # είναι ένας παράγοντας αυτού του πολυώνυμου.
Πρέπει να βρούμε τους άλλους παράγοντες, το κάνουμε αυτό διαιρώντας το f (x) με # (x-1) # για να βρούμε άλλους παράγοντες.
# {4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9} / {χ-1} #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
Από # (x * 4x ^ 2) = 4x ^ 3 # παίρνουμε # 4x ^ 2 # ως όρος στον παράγοντα
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
πρέπει να βρούμε το υπόλοιπο για να βρούμε τι άλλο πρέπει να βρεθεί.
κανουμε # 4x ^ 2 * (χ-1) = 4x ^ 3-4x ^ 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 3-4x ^ 2 #
Αφαιρούμε αυτό για να πάρουμε 0
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ## # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 #
αυτό το μηδέν σημαίνει ότι δεν υπάρχει ΟΧΙ γραμμικό όρο και θα μειώσουμε τους επόμενους όρους.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0x #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# x * -9 = -9x # οπότε ο επόμενος όρος είναι #-9#
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0x -9 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# -9 * (x-1) = - 9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0x -9 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0x -9 #
# (x-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #0#
Έτσι # (x-1) (4χ ^ 2-9) # χωρίς υπενθύμιση (μπορείτε να το ελέγξετε κάνοντας επέκταση). Πρέπει να το κατανοήσουμε εντελώς.
# (4x ^ 2 -9) # είναι μια διαφορά τετραγώνων με παράγοντες # (2x-3) * (2x + 3) #
Εχουμε # (x-1) * (2x-3) * (2x + 3) = 0 #
# 2x-3 = 0 # μας δίνει μια ρίζα # x = 3/2 # και # 2x + 3 = 0 # μας δίνει μια ρίζα # x = -3 / 2 #
Οι ρίζες είναι # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
