Πώς βρίσκετε την εξίσωση μιας γραμμής εφαπτομένης στη συνάρτηση y = x ^ 2-5x + 2 στο x = 3;

Απάντηση:

# γ = χ-7 #

Αφήνω # y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 #

Στο # x = 3, γ = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 #

#=9-15+2#

#=-6+2#

#=-4#

Έτσι, η συντεταγμένη είναι στο #(3,-4)#.

Πρώτα πρέπει να βρούμε την κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο σημείο διαφοροποιώντας # f (x) #, και σύνδεση # x = 3 # εκεί.

#:. f '(x) = 2x-5 #

Στο # x = 3 #, # f '(x) = f' (3) = 2 * 3-5 #

#=6-5#

#=1#

Έτσι, η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής θα υπάρχει #1#.

Τώρα, χρησιμοποιούμε τον τύπο κλίσης σημείου για να υπολογίσουμε την εξίσωση της γραμμής, δηλαδή:

# y-y_0 = m (χ-χ_0) #

όπου # m # είναι η κλίση της γραμμής, # (x_0, y_0) # είναι οι αρχικές συντεταγμένες.

Και έτσι, # y - (- 4) = 1 (x-3) #

# y + 4 = χ-3 #

# γ = χ-3-4 #

# γ = χ-7 #

Ένα γράφημα μας δείχνει ότι είναι αλήθεια:

# y = x - 7 #

# y = x ^ 2-5x + 2 #

# y '= 2x - 5 #

Στο # x = 3: #

# y '= 2x - 5 #

# y '= 6 - 5 #

# y '= 1 #

# y = 3 ^ 2 - 5xx 3 + 2 #

#y = -4 #

# y '= 1, (3, -4) #

# y - (-4) = 1 (x - 3) #

# y = x - 7 #