Απάντηση:
Βλέπε εξήγηση …
Εξήγηση:
Αφήνω # t = a_ (cf) (x; b) #
Επειτα:
(x + b / a ^ (x + …))) = a ^ (x) = a (x) + b / (a_ (cf) (χ · b))) = a ^ (χ + b / t) #
Με άλλα λόγια, # t # είναι ένα σταθερό σημείο της χαρτογράφησης:
# F_ (a, b, χ) (t) = α ^ (χ + β / τό) #
Σημειώστε ότι από μόνη της, # t # ως σταθερό σημείο # F (t) # δεν αρκεί για να αποδειχθεί αυτό # t = a_ (cf) (x; b) #. Μπορεί να υπάρχουν ασταθή και σταθερά σταθερά σημεία.
Για παράδειγμα, #2016^(1/2016)# είναι σταθερό σημείο # x -> x ^ x #, αλλά δεν είναι λύση του # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Δεν υπάρχει λύση).
Ωστόσο, ας το εξετάσουμε # a = e #, # x = 0,1 #, #b = 1.0 # και # t = 1.880789470 #
Επειτα:
# F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #
# = e ^ 0.6316916199 #
# ~ ~ 1.880789471 ~~ t #
Έτσι αυτή η αξία του # t # είναι πολύ κοντά σε ένα σταθερό σημείο # F_ (α, β, χ) #
Για να αποδείξετε ότι είναι σταθερό, εξετάστε το παράγωγο κοντά # t #.
= d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s)
Έτσι βρίσκουμε:
(1, 1, 1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^
Δεδομένου ότι αυτό είναι αρνητικό και έχει απόλυτη τιμή μικρότερη από #1#, το σταθερό σημείο στο # t # είναι σταθερό.
Επίσης, σημειώστε ότι για κάθε μη μηδενική πραγματική τιμή του #μικρό# έχουμε:
(1, 1, 1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
Αυτό είναι # F_ (e, 1,0,1) (s) # μειώνεται αυστηρά μονοτονικά.
Ως εκ τούτου # t # είναι το μοναδικό σταθερό σταθερό σημείο.
Απάντηση:
Συναρπαστική συμπεριφορά.
Εξήγηση:
Με # a = e # και # x = x_0 # η επανάληψη ακολουθεί ως
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # και επίσης
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Ας διερευνήσουμε τους όρους για συρρίκνωση του χειριστή επανάληψης.
Αφαίρεση και των δύο πλευρών
############################################################################################ #
αλλά στην πρώτη προσέγγιση
(e) (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1} {k-1}) + 0 ((y_ {k-1}) ^ 2) #
ή
(e-1)} / (y_ {k-1}) ^ 2 (β / γ) y_k-y_ {κ-1}) #
Για να έχουμε μια συστολή που χρειαζόμαστε
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Αυτό επιτυγχάνεται εάν
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}. Υποθέτω # b> 0 # και # k = 1 # έχουμε.
# x_0 + β / γ_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Έτσι δίνεται # x_0 # και #σι# αυτή η σχέση μας επιτρέπει να βρούμε την αρχική επανάληψη υπό συστολική συμπεριφορά.
