Τι αντιπροσωπεύει την στιγμιαία ταχύτητα σε ένα γράφημα;

Υπό την προϋπόθεση ότι το γράφημα είναι απόστασης ως συνάρτηση του χρόνου, η κλίση της γραμμής εφαπτομένης στη συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο αντιπροσωπεύει την στιγμιαία ταχύτητα στο σημείο αυτό.

Για να πάρετε μια ιδέα αυτής της κλίσης, πρέπει να το χρησιμοποιήσετε όρια. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι δίνεται μια λειτουργία απόστασης # x = f (t) #, και κάποιος επιθυμεί να βρει την στιγμιαία ταχύτητα, ή το ρυθμό αλλαγής της απόστασης, στο σημείο # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, βοηθά να εξετάσουμε πρώτα ένα άλλο κοντινό σημείο, # p_1 = (t_0 + α, f (t_0 + a)) #, όπου #ένα# είναι κάποια αυθαίρετα μικρή σταθερά. Η κλίση του ενδιάμεση γραμμή περνώντας από το γράφημα σε αυτά τα σημεία είναι:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Οπως και # p_1 # προσεγγίσεις # p_0 # (που θα συμβεί ως μας #ένα# μειώνεται), τα παραπάνω μας #difference quotient # θα προσεγγίσει ένα όριο, που καθορίζεται εδώ #ΜΕΓΑΛΟ#, η οποία είναι η κλίση της εφαπτομένης γραμμής στο δεδομένο σημείο. Σε αυτό το σημείο, μια εξίσωση σημείου-κλίσης χρησιμοποιώντας τα παραπάνω σημεία μας μπορεί να δώσει μια ακριβέστερη εξίσωση.

Αν αντίθετα κάποιος είναι εξοικειωμένος με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση, και η συνάρτηση είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμη στη δεδομένη τιμή του # t #, τότε μπορούμε απλά να διαφοροποιήσουμε τη λειτουργία. Δεδομένου ότι οι περισσότερες λειτουργίες απόστασης είναι πολυωνυμικές λειτουργίες, της μορφής (n-1) + ct (n-2) + … + yt + z, # αυτά μπορούν να διαφοροποιηθούν χρησιμοποιώντας το ισχύος που δηλώνει ότι για μια λειτουργία # f (t) = at ^ n, (df) / dt # (ή # f '(t) #) = # (η) στο ^ (η-1) #.

Έτσι για τη γενική μας πολυωνυμική λειτουργία παραπάνω, (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + + y # (Σημειώστε ότι από τότε # t = t ^ 1 # (καθώς οποιοσδήποτε αριθμός που ανεβαίνει στην πρώτη ενέργεια ισούται με τον εαυτό της), μειώνοντας την ισχύ κατά 1 μας αφήνει με # t ^ 0 = 1 #, οπότε ο τελικός όρος είναι απλά # y #. Σημειώστε επίσης ότι μας # z # η διάρκεια, η σταθερότητα, δεν άλλαξε σε σχέση με # t # και έτσι απορρίφθηκε στη διαφοροποίηση).

Αυτό # f '(t) # είναι το παράγωγο της συνάρτησης απόστασης σε σχέση με το χρόνο. Επομένως, μετρά το ρυθμό μεταβολής της απόστασης σε σχέση με το χρόνο, που είναι απλά η ταχύτητα.