(x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Υπολογίστε την τιμή προσδοκίας σε κάθε μεταγενέστερο χρόνο t = t_1, phi_n είναι ενεργειακές ιδιότητες του άπειρου δυναμικού φρεατίου. Γράψτε την απάντηση από την άποψη του E_0;

Λοιπόν, παίρνω # 14 / 5E_1 #… και δεδομένου του επιλεγμένου σας συστήματος, δεν μπορεί να εκφραστεί εκ νέου ως προς # E_0 #.

Υπάρχουν τόσοι πολλοί κανόνες κβαντομηχανικής σπασμένοι σε αυτό το ερώτημα …

• ο # phi_0 #, δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε άπειρες δυνατότητες για καλές λύσεις, εξαφανίζεται αυτόματα … # n = 0 #, Έτσι #sin (0) = 0 #.

Και για το περιβάλλον, είχαμε αφήσει #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

• είναι αδύνατο να γράψω την απάντηση από άποψη # E_0 # επειδή # n = 0 # δεν υπάρχει για το άπειρο δυναμικό πηγάδι. Εκτός αν θέλετε το σωματίδιο να εξαφανίζομαι , Πρέπει να το γράψω με όρους # E_n #, # n = 1, 2, 3,… # #…

• Η ενέργεια είναι μια σταθερά της κίνησης, δηλ. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Ωστε τώρα…

(2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L)

Η προσδοκώμενη αξία είναι μια σταθερά της κίνησης, οπότε δεν μας νοιάζει τι ώρα # t_1 # εμείς διαλέγουμε. Διαφορετικά, αυτό δεν είναι ένα συντηρητικό σύστημα …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # για ορισμένες # n = 1, 2, 3,… # #

Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ήδη τι πρέπει να είναι, δεδομένου ότι ο Hamiltonian για το μονοδιάστατο άπειρο δυναμικό πηγάδι είναι χρόνος-ανεξάρτητος …

(2) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

και το # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # πηγαίνετε στο 1 στο ολοκληρωμένο:

(x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (x, t) L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>)

όπου έχουμε αφήσει (X, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Και πάλι, όλοι οι παράγοντες φάσης ακυρώνονται και σημειώνουμε ότι οι εκτός διαγωνίου όροι φτάνουν στο μηδέν λόγω της ορθογωνικότητας του # phi_n #.

Ο παρονομαστής είναι ο κανόνας του # Psi #, το οποίο είναι

(1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Επομένως, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Αυτό δίνει:

= () () / () () / () / (2) (2m) / dx + (1 / sqrt2) / 2 (2 / L) / (2 ^) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin (2) ((2pix) / L) ακύρωση (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Εφαρμόστε τα παράγωγα:

= (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) (2p) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Οι σταθερές επιπλέουν:

= (5) (1/3) (2) (2 / L) sin ((pix) / L)) dx + 1/2 (4 ^^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) # #

Και αυτό το ενιαίο είναι γνωστό για φυσικούς λόγους να είναι στα μισά του δρόμου μεταξύ #0# και #ΜΕΓΑΛΟ#, ανεξάρτητα από # n #:

(2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

(= 2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = χρώμα (μπλε) (14/5 E_1) #

Απάντηση:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Εξήγηση:

Κάθε στατική κατάσταση που αντιστοιχεί στην ενεργειακή αξία # E_n # παίρνει έναν παράγοντα φάσης #e ^ {- iE_n t} # στην εξέλιξη του χρόνου. Η δεδομένη κατάσταση είναι δεν μια στάσιμη κατάσταση - δεδομένου ότι είναι η υπέρθεση των ενεργειακών ιδιοτήτων που ανήκουν σε διαφορετικές ιδιοτιμές. Ως εκ τούτου, θα εξελιχθεί εγκαίρως κατά τρόπο μη τετριμμένο. Ωστόσο, η εξίσωση Schroedinger που διέπει την εξέλιξη του χρόνου των καταστάσεων είναι γραμμική - έτσι ώστε κάθε συνιστώσα ενεργειακής ιδιοσυχνότητας να εξελίσσεται ανεξάρτητα - να πάρει τον δικό της παράγοντα φάσης.

Έτσι, η λειτουργία εκκίνησης κύματος

(x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) # sqi_A (x, 0) = sqrt

εξελίσσεται εγκαίρως # t # προς το

(1/3) phi_1 (x, e) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Έτσι, η τιμή της προσδοκώμενης ενέργειας στο χρόνο # t # δίνεται από

(X, t) dx ######################################################

(1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

(1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/1) 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) φορές (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι το #phi_i (x) # είναι ενεργειακές ιδιότητες, έτσι ώστε #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Αυτό μας δίνει ακόμα εννέα όρους. Ωστόσο, ο τελικός υπολογισμός απλοποιείται πολύ από το γεγονός ότι οι ενεργειακές ιδιότητες είναι ορθο-κανονικοποιημένες, δηλ. υπακούουν

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Αυτό σημαίνει ότι από τα εννέα ολοκληρώματα, μόνο τρία επιβιώνουν και παίρνουμε

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Χρησιμοποιώντας το πρότυπο αποτέλεσμα αυτό # E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, έχουμε # E_1 = 4E_0 # και # E_2 = 9E_0 # για ένα άπειρο πηγάδι (πιθανόν να είστε πιο συνηθισμένοι σε μια έκφραση που λέει #E_n propto n ^ 2 # για ένα άπειρο πηγάδι - αλλά σε αυτές η αρχική κατάσταση είναι επισημασμένη # E_1 # - εδώ το επισημαίνουμε # E_0 # - εξ ου και η αλλαγή). Ετσι

# <E> = (1/6 φορές 1 + 1/3 φορές 4 + 1/2 φορές 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Σημείωση:

1. Ενώ οι μεμονωμένες ενεργειακές ιδιομορφίες εξελίσσονται εγκαίρως, παίρνοντας έναν παράγοντα φάσης, η συνολική λειτουργία κύματος δεν διαφέρει από την αρχική με ένα μόνο παράγοντα φάσης - γι 'αυτό δεν είναι πλέον σταθερή κατάσταση.
2. Τα εμπλεκόμενα ολοκληρώματα ήταν σαν

   = int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i_E_j) / ℏt} times int_- infty ^ infty psi_i (x) psi_j (χ) dx #

   και αυτά μοιάζουν να εξαρτώνται από το χρόνο. Ωστόσο, τα μόνα ολοκληρωτικά που επιβιώνουν είναι αυτά για # i = j # - και αυτοί είναι ακριβώς αυτοί για τους οποίους η εξάρτηση από το χρόνο ακυρώνεται.

3. Τα τελευταία αποτελέσματα ταιριάζουν με το γεγονός ότι #hat {H} # διατηρείται - αν και η κατάσταση δεν είναι ακίνητη κατάσταση - η τιμή της προσδοκίας ενέργειας είναι ανεξάρτητη από το χρόνο.
4. Η αρχική λειτουργία κύματος έχει ήδη κανονικοποιηθεί από τότε # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # και αυτή η εξομάλυνση διατηρείται στην εξέλιξη του χρόνου.
5. Θα μπορούσαμε να κόψουμε πολλή δουλειά αν είχαμε χρησιμοποιήσει ένα πρότυπο κβαντομηχανικό αποτέλεσμα - εάν μια λειτουργία κύματος επεκταθεί στη μορφή #psi = sum_n c_n phi_n # όπου το # phi_n # είναι ιδιοσυστατικά ενός χειριστή Hermitian #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, έπειτα # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, υπό την προϋπόθεση βεβαίως ότι τα κράτη έχουν κανονικοποιηθεί κανονικά.