Ερώτηση # ecc3a

Απάντηση:

(2χ + 1) / sqrt3) + C # (3x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1)

Εξήγηση:

#int (3χχ) / (χ ^ 2 + χ + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2χ + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Απάντηση:

(x + 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Εξήγηση:

Κάθε φορά που έχουμε έναν τετραγωνικό στον παρονομαστή και όχι #Χ#'s στον αριθμητή, θέλουμε να πάρουμε το ολοκλήρωμα στην ακόλουθη μορφή:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Στην περίπτωσή μας, μπορούμε να το κάνουμε αυτό συμπληρώνοντας την πλατεία και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας μια υποκατάσταση.

= x + 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

x + 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (χ + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

(X + 2 / x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3 /

Θέλουμε να εισαγάγουμε μια ου-υποκατάσταση έτσι ώστε:

# (χ + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Μπορούμε να λύσουμε για #Χ# για να καταλάβουμε τι πρέπει να είναι αυτή η υποκατάσταση:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

Να ενσωματωθεί σε σχέση με # u #, πολλαπλασιάζουμε με το παράγωγο του #Χ# σε σχέση με # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 /

= 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 +1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 /

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Μπορούμε να λύσουμε τώρα # u # από την άποψη του #Χ# για την επαναδημοσίευση:

# u = (2χ + 1) / sqrt3 #

Αυτό σημαίνει ότι η τελική μας απάντηση είναι:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2χ + 1) / sqrt3) + C #