Πότε χρησιμοποιείτε τον τύπο του Heron για να βρείτε περιοχή;

Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε κάθε φορά που γνωρίζετε τα μήκη και των τριών πλευρών ενός τριγώνου.

Ελπίζω ότι αυτό ήταν χρήσιμο.

Απάντηση:

Η φόρμουλα του Heron είναι σχεδόν πάντα η λανθασμένη φόρμουλα που πρέπει να χρησιμοποιήσετε. δοκιμάστε το Θεώρημα του Archimedes για ένα τρίγωνο με περιοχή #ΕΝΑ# και τις πλευρές #αλφάβητο#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

(α ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

(α + β + γ) (α + β + γ) (α-β + γ)

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # όπου # s = 1/2 (α + β + γ) #

Το τελευταίο είναι ελαφρώς καλυμμένο Heron.

Εξήγηση:

Ήρωας της Αλεξάνδρειας έγραψε τον 1ο αιώνα μ.Χ. Γιατί συνεχίζουμε να βασανίζουμε τους μαθητές με το αποτέλεσμα του όταν υπάρχουν πολύ ωραιότερα σύγχρονα ισοδύναμα δεν έχω ιδέα.

Heron's τύπος για την περιοχή #ΕΝΑ# ενός τριγώνου με πλευρές #αλφάβητο# είναι

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # όπου # s = 1/2 (α + β + γ) # είναι το ημιπερίμετρο.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτός ο τύπος είναι φοβερός. Αλλά είναι δύσκολη η χρήση λόγω του κλάσματος και, αν ξεκινήσουμε από τις συντεταγμένες, τις τέσσερις τετραγωνικές ρίζες.

Ας κάνουμε ακριβώς τα μαθηματικά. Εμείς πλατεία και εξάλειψη #μικρό# που χρησιμεύει κυρίως για να κρύψει ένα #16# και μια σημαντική παραγοντοποίηση. Μπορεί να θέλετε να το δοκιμάσετε πρώτα.

(Α + β + γ) -β) (1/2 (α + β + γ) -α) b + c) -c) #

(Α + β + γ)) (1/2 (α + β + γ)) # #

(A + b + c) (a + b-c) (a + b-c)

Αυτό είναι ήδη πολύ καλύτερο από τη μορφή του Heron. Σώζουμε το κλάσμα μέχρι το τέλος και δεν αναρωτιέται κανείς για το νόημα του ημιπεραμέτρου.

Η εκφυλισμένη περίπτωση λέει. Όταν ένας από αυτούς τους παράγοντες με το αρνητικό σύμβολο είναι μηδέν, τότε οι δύο πλευρές προστίθενται ακριβώς στην άλλη πλευρά. Αυτές είναι οι αποστάσεις μεταξύ τριών σημείων, του εκφυλισμένου τριγώνου και έχουμε μηδενική περιοχή. Βγάζει νόημα.

ο # α + β + γ # παράγοντας είναι ενδιαφέρον. Αυτό που μας λέει είναι ότι αυτός ο τύπος εξακολουθεί να λειτουργεί αν χρησιμοποιούμε μετατοπίσεις, υπογεγραμμένα μήκη, αντί για όλα θετικά.

Η φόρμουλα είναι ακόμα δύσκολη να χρησιμοποιήσει συγκεκριμένες συντεταγμένες. Ας το πολλαπλασιάσουμε. ίσως να θέλετε να το δοκιμάσετε μόνοι σας.

(A + b + c) (a + b-c) (a + b-c)

(α ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc-ac + bc-c ^ 2) #

= α-2-b ^ 2-c ^ 2 + 2bc)

= α-2-b ^ 2-c ^ 2 + 2bc)

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)

Αυτή η μορφή εξαρτάται μόνο από τα τετράγωνα των μηκών. Είναι σαφώς πλήρως συμμετρικό. Μπορούμε να προχωρήσουμε τώρα από το Heron τώρα και να πούμε αν το τετραγωνικά μήκη είναι λογικές, έτσι είναι η τετραγωνισμένη περιοχή.

Αλλά μπορούμε να κάνουμε καλύτερα αν σημειώσουμε

(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2) #

Αφαίρεση,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^

Αυτή είναι η ωραιότερη μορφή.

Υπάρχει μια μορφή ασύμμετρης εμφάνισης που είναι συνήθως η πιο χρήσιμη. Σημειώνουμε

(α ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 2) #

Προσθέτοντας αυτό στο

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Αυτή είναι η πιο χρήσιμη μορφή. Υπάρχουν πραγματικά τρεις τρόποι να το γράψετε, αλλάζοντας τις πλευρές.

Συλλογικά αυτά ονομάζονται Θεωρία του Αρχιμήδη, από την Ορθογωνιστική τριγωνομετρία του NJ Wildberger.

Όταν δοθούν 2D συντεταγμένες, συχνά η Formula Shoelace είναι η πιο γρήγορη διαδρομή προς την περιοχή, αλλά θα το αποθηκεύσω για άλλες θέσεις.