Πώς δείξατε ότι το παράγωγο μιας περίεργης λειτουργίας είναι ομοιόμορφο;

Για μια δεδομένη λειτουργία #φά#, το παράγωγο του δίνεται από

(x) = f (x) = h (x) = h (x)

Τώρα πρέπει να δείξουμε ότι, αν # f (x) # είναι μια περίεργη λειτουργία (με άλλα λόγια, # -f (x) = f (-x) # για όλα #Χ#) έπειτα # g (x) # είναι μια ομαλή λειτουργία (# g (-x) = g (x) #).

Έχοντας αυτό υπόψη, ας δούμε τι #g (-x) # είναι:

(x) = h (x) = h (x)

Από # f (-x) = - f (x) #, το παραπάνω είναι ίσο με

(x) = f (x) = f (x)) / h #

Ορίστε μια νέα μεταβλητή # k = -h #. Οπως και # h-> 0 #, το κάνει # k-> 0 #. Επομένως, τα παραπάνω γίνονται

(k)) / k = g (x) # g (-x) = lim_ (k-> 0)

Επομένως, εάν # f (x) # είναι μια παράξενη συνάρτηση, το παράγωγο της # g (x) # θα είναι μια ομαλή λειτουργία.

# "Q.E.D." #