Διαφοροποίηση και απλοποίηση παρακαλώ βοηθήστε;

Απάντηση:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Εξήγηση:

Εξπρές # x ^ tanx # ως δύναμη του e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # όπου # u = lnxtanx # και # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Εξπρές # e ^ (lnxtanx) # ως ισχύς x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Χρησιμοποιήστε τον κανόνα προϊόντος, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), όπου # u = lnx # και # v = tanx #

= lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) χ ^ tanx #

Η παράγωγο του # tanx # είναι # sec ^ 2x #

(dx (dx) (lnx)) tanx) # = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx +

Το παράγωγο του # lnx # είναι # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Απάντηση:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + μαύρισμα (x) / x) x ^ tan (x)

Εξήγηση:

Θα χρησιμοποιήσουμε λογαριθμική διαφοροποίηση - δηλαδή, θα πάρουμε το φυσικό λογότυπο και των δύο πλευρών και θα διαφοροποιήσουμε σιωπηρά w.r.t #Χ#

Δεδομένος: # y = x ^ tan (χ) #

Πάρτε το φυσικό ξύλο (# ln #) και των δύο πλευρών:

# n (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Εφαρμογή του κανόνα ενέργειας του φυσικού αρχείου καταγραφής # n (a) ^ b = b * ln (α) #

# n (y) = μαύρισμα (x) * ln (x) #

Διαχωρίστε και τις δύο πλευρές σιωπηρά w.r.t #Χ#

# 1 / y * dy / dx = χρώμα (μπλε) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) (Δείτε την εργασία παρακάτω)

Για να διαφοροποιήσουμε το RHS, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του προϊόντος!

Εχουμε # d / dx μαύρο (x) * ln (x) #

Αφήνω # f (x) = μαύρισμα (x) # και # g (x) = ln (x) #

Ετσι, # f '(x) = sec ^ 2 (x) # και # g '(x) = 1 / x #

Με τον κανόνα του προϊόντος: (x) = g (x) = f (x) g (x) + f (x)

Αντικαθιστώντας παίρνουμε:

(x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Απλοποιώντας …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec.2 (x) * ln (x)

Επιστρέφοντας σε αυτό που είχαμε πριν:

(X) / x # (x) / x # (x)

Θέλουμε να απομονώσουμε # dy / dx # έτσι πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές # y #

#cancelcolor (κόκκινο) y * 1 / ακύρωση * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x)

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x)

Θέλουμε να γράψουμε τα πάντα από άποψη #Χ# αλλά έχουμε αυτό #color (κόκκινο) y # στο δρόμο. Μπορεί να το θυμάστε αυτό #color (κόκκινο) y # μας δίνεται στην αρχή. #color (κόκκινο) (y = x ^ tan (x)) #

(x) + (x) / x (x) x (x) (x)