Παρακαλώ βοηθήστε. Δεν είμαι σίγουρος πώς να το κάνω γρήγορα χωρίς να το πολλαπλασιάσω όλα;

Απάντηση:

Η απάντηση στο (Εγώ) είναι #240#.

Η απάντηση στο (ϋ) είναι #200#.

Εξήγηση:

Μπορούμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας το τρίγωνο του Pascal, που φαίνεται παρακάτω.

(Εγώ)

Δεδομένου ότι ο εκθέτης είναι #6#, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την έκτη σειρά στο τρίγωνο, που περιλαμβάνει #color (μοβ) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # και #color (μοβ) 1 #. Βασικά, θα χρησιμοποιήσουμε #color (μπλε) 1 # ως πρώτη θητεία και #color (κόκκινο) (2x) # ως το δεύτερο. Στη συνέχεια, μπορούμε να δημιουργήσουμε την ακόλουθη εξίσωση. Ο εκθέτης του πρώτου όρου αυξάνεται κατά #1# κάθε φορά και ο εκθέτης του δεύτερου όρου μειώνεται κατά #1# με κάθε όρο από το τρίγωνο.

# (έγχρωμη (μοβ) 1 * χρώμα (μπλε) (1 ^ 0) * χρώμα (κόκκινο) κόκκινο) ((2χ) ^ 5)) + (έγχρωμο (μωβ) 15 * χρώμα (μπλε) (1 ^ 2) μπλε) (1 ^ 3) * χρώμα (κόκκινο) ((2x) ^ 3)) + (έγχρωμο (μωβ) + (χρώμα (μοβ) 6 * χρώμα (μπλε) (1 ^ 5) * χρώμα (κόκκινο) κόκκινο) ((2χ) ^ 0)) #

Τότε, μπορούμε να το απλοποιήσουμε.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Επομένως, ο συντελεστής του # x ^ 4 # είναι #240#.

(ϋ)

Γνωρίζουμε ήδη την επέκταση του # (1 + 2χ) ^ 6 #. Τώρα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις δύο εκφράσεις μαζί.

#color (καφέ) (1-χ (1/4)) * χρώμα (πορτοκαλί) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^

Ο συντελεστής του #Χ# σε # 1-x (1/4) # είναι #1#. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι θα αυξήσει τις αξίες των εκθετών στην άλλη έκφραση #1#. Γιατί χρειαζόμαστε τον συντελεστή του # x ^ 4 #, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε # 160x ^ 3 # με # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Τώρα, πρέπει να το προσθέσουμε # 240x ^ 4 #. Αυτό είναι ένα μέρος της λύσης του # 240x ^ 4 * (1-χ (1/4)) #, λόγω του πολλαπλασιασμού κατά #1#. Είναι σημαντικό επειδή έχει επίσης έναν εκθέτη του #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Επομένως, ο συντελεστής είναι #200#.

Απάντηση:

Εγώ. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Εξήγηση:

Η διωνυμική επέκταση για # (a + bx) ^ c # μπορεί να εκπροσωπείται ως:

(c-n) (bx) ^ n # (n = 0) ^ c (c!) /

Για το μέρος 1 χρειαζόμαστε μόνο πότε # n = 4 #:

# (6!) / (4 (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2χ) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16χ ^ 4 #

# 720/48 16χ ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Για το μέρος 2, χρειαζόμαστε επίσης το # x ^ 3 # λόγω του # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2χ) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8χ ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-χ / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #