Γιατί δεν μπορούμε να ενσωματώσουμε το x ^ x;

Απάντηση:

Δεν έχουμε έναν κανόνα γι 'αυτό.

Εξήγηση:

Στα ολοκληρωμένα, έχουμε τους τυπικούς κανόνες. Ο κανόνας κατά της αλυσίδας, ο κανόνας κατά των προϊόντων, ο κανόνας κατά της ισχύος και ούτω καθεξής. Αλλά δεν έχουμε ένα για μια λειτουργία που έχει ένα #Χ# τόσο στη βάση όσο και στην ισχύ. Μπορούμε να πάρουμε το παράγωγο του, αλλά η προσπάθεια να πάρουμε το ολοκληρωμένο του είναι αδύνατο λόγω της έλλειψης κανόνων που θα συνεργαστούμε.

Αν ανοίξετε τον Υπολογιστή Desmos Graphing, μπορείτε να δοκιμάσετε να συνδέσετε

# int_0 ^ x a ^ ada #

και θα γράψει αυτό καλά. Αλλά αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα κατά της ενέργειας ή τον κανόνα κατά του εκθέτη για να γράψετε εναντίον του, θα δείτε ότι αποτυγχάνει. Όταν προσπάθησα να το βρω (το οποίο δουλεύω ακόμα), το πρώτο μου βήμα ήταν να το απομακρύνω από αυτή τη φόρμα και τα εξής:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Αυτό ουσιαστικά μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες του λογισμικού λίγο καλύτερα. Αλλά ακόμα και όταν χρησιμοποιείτε το Integration by Parts, ποτέ δεν ξεφορτώνεστε πραγματικά το ολοκληρωμένο. Επομένως, δεν έχετε στην πραγματικότητα κάποια λειτουργία για να το προσδιορίσετε.

Αλλά όπως πάντα στο Math, είναι διασκεδαστικό να πειραματιστείτε.Συνεπώς, προχωρήστε και δοκιμάστε, αλλά όχι πολύ και τόσο σκληρά, θα πάρετε αναρροφημένα σε αυτή την τρύπα του κουνελιού.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

# y = x ^ x # μπορεί να ενσωματωθεί. Για παράδειγμα

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

ένα άλλο πράγμα είναι να έχουμε τώρα ημέρες, μια λειτουργία # f (x) # που αντιπροσωπεύει σε κλειστή μορφή, το πρωτόγονο για # x ^ x # ή με άλλα λόγια, τέτοια ώστε

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Εάν αυτό ήταν μια συνήθεια κοινής χρήσης σε τεχνικο-επιστημονικά προβλήματα, σίγουρα θα είχαμε εφεύρει ένα διαφοροποιημένο όνομα και σύμβολο για να το χειριστούμε. Όπως και η συνάρτηση Lambert που ορίζεται ως

# W (x) = x e ^ x #

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

Όπως ανέφερε ο Cesareo (χωρίς να λέει), υπάρχει κάποια ασάφεια στο θέμα "δεν μπορούμε να ενσωματώσουμε".

Η λειτουργία # f (x) = x ^ x # είναι συνεχής # (0, oo) #

και επάνω # 0, oo) # αν το κάνουμε # f (0) = 1 #, οπότε ας το κάνουμε αυτό. Επομένως, το οριστικό ολοκλήρωμα

# int_a ^ b x ^ x dx # υπάρχει για όλους # 0 <= α <= β #

Επιπλέον, το θεμελιώδες θεώρημα του calulus μας λέει ότι η λειτουργία # int_0 ^ x t ^ t dt # έχει παράγωγα # x ^ x # Για # x> = 0 #

Αυτό που δεν μπορούμε να κάνουμε είναι να εκφράσουμε αυτή τη λειτουργία σε μια ωραία, πεπερασμένη, κλειστή μορφή αλγεβρικών εκφράσεων (ή ακόμα και γνωρίζουμε υπερβατικές λειτουργίες).

Υπάρχουν πολλά πράγματα στα μαθηματικά που δεν μπορούν να εκφραστούν εκτός από μια μορφή που επιτρέπει διαδοχικά καλύτερες προσεγγίσεις.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός του οποίου είναι η τετράγωνη #2# δεν μπορεί να εκφράζεται σε δεκαδική ή κλασματική μορφή χρησιμοποιώντας μια πεπερασμένη έκφραση. Έτσι το δίνουμε ένα σύμβολο, # sqrt2 # και να το προσεγγίσετε σε οποιοδήποτε επιθυμητό επίπεδο ακρίβειας.

Η αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου δεν μπορεί να εκφραστεί με πεπερασμένο αλγεβρικό συνδυασμό ολόκληρων αριθμών, γι 'αυτό το όνομα, #πι# και να το προσεγγίσετε σε οποιοδήποτε επιθυμητό επίπεδο ακρίβειας.

Η λύση στο # x = cosx # μπορεί επίσης να προσεγγιστεί με οποιοδήποτε επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, αλλά δεν μπορεί τελικά να εκφραστεί. Ο αριθμός αυτός (ίσως) δεν είναι αρκετά σημαντικός για να δοθεί ένα όνομα.

Όπως είπε ο Cesareo, αν το σύμπλεγμα του # x ^ x # είχε πολλές εφαρμογές, οι μαθηματικοί θα υιοθετούσαν ένα όνομα γι 'αυτό.

Αλλά οι υπολογισμοί θα απαιτούσαν ακόμα άπειρη προσέγγιση.