Ερώτηση # 92256

Απάντηση:

Βλέπε εξήγηση

Εξήγηση:

Σπάστε αυτό σε δύο μέρη, πρώτα το εσωτερικό μέρος:

# e ^ x #

Αυτό είναι θετικό και αυξάνεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και πηγαίνει από 0 έως # oo # όπως και #Χ# πηγαίνει από # -oo # προς το # oo #

Το έχουμε:

#arctan (u) #

Έχει ένα σωστό οριζόντιο ασυμπτωτικό στο # y = pi / 2 #. Πηγαίνοντας από # u = 0 rarr oo #, στο # u = 0 # αυτή η λειτουργία είναι θετική και αυξάνεται σε αυτόν τον τομέα, παίρνει τιμή 0 at # u = 0 #, μια τιμή του # pi / 4 # στο # u = 1 # και μια τιμή # pi / 2 # στο # u = oo #.

Αυτά τα σημεία παίρνουν έτσι τράβηξε # x = -oo, 0, oo # και καταλήγουμε με ένα γράφημα που μοιάζει με αυτό ως αποτέλεσμα:

γράφημα {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Ποιο είναι το θετικό μέρος του # arctan # λειτουργία τέντωμα σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή με την αριστερή τιμή να τεντώσει σε ένα οριζόντιο asymptote στο # y = 0 #.

Απάντηση:

Βλέπε εξήγηση

Εξήγηση:

Τομέα είναι # RR #

Συμμετρία

Ούτε σε σχέση με το #Χ# άξονα ούτε w.r.t την προέλευση.

#arctan (e ^ (- x)) # δεν απλοποιείται #arctan (e ^ x) #

ούτε σε # -αρκάν (e ^ x) #

Εντολές

#Χ# υποκλοπές: καμία

Δεν μπορούμε να το πάρουμε # y = 0 # γιατί αυτό θα απαιτούσε # e ^ x = 0 #

Αλλά # e ^ x # δεν είναι ποτέ #0#, προσεγγίζει μόνο #0# όπως και # xrarr-oo #.

Ετσι, # yrarr0 # όπως και # xrarr-oo # και το #Χ# άξονας os μια οριζόντια

ασυμπτώτης στα αριστερά.

# y # συλλαμβάνω εις τον δρόμον: # pi / 4 #

Πότε # x = 0 #, παίρνουμε # y = arctan (1) = pi / 4 #

Ασυμπτωτικοί:

Κάθετη: καμία

# arctan # είναι μεταξύ # -pi / 2 # και # pi / 2 # εξ ορισμού, έτσι ποτέ δεν πηγαίνει # oo #

Οριζόντιος:

Αριστερά: # y = 0 # όπως συζητήθηκε παραπάνω

Σωστά: # y = pi / 2 #

Γνωρίζουμε ότι, όπως # thetararrpi / 2 # με #theta <pi / 2 #, παίρνουμε #tantheta rarr oo #

έτσι ώστε # xrarroo #, παίρνουμε # e ^ x rarroo #, Έτσι # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Πρώτο παράγωγο

# y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # δεν είναι ποτέ #0# και ποτέ δεν είναι καθορισμένο, έτσι δεν υπάρχουν κρίσιμοι αριθμοί.

Για κάθε #Χ# έχουμε # y '> 0 # έτσι η λειτουργία αυξάνεται # (- oo, oo) #

Δεν υπάρχουν τοπικά άκρα.

Δεύτερο παράγωγο

(2 + 2 ^) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^

(3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2χ)) ^ 2 #

= (e ^ x (1-e ^ (2χ))) / (1 + e ^ (2χ)) ^

# y '' # δεν είναι ποτέ απροσδιόριστο, και είναι #0# στο # x = 0 #

Σημάδι # y '' #:

Επί # (- oo, 0) #, παίρνουμε # e ^ (2χ) <1 # Έτσι # y ''> 0 # και το γράφημα είναι κοίλο προς τα πάνω

Επί # (0, oo) #, παίρνουμε # e ^ (2x)> 1 # Έτσι # y '' <0 # και το γράφημα είναι κοίλο προς τα κάτω

Η κοιλότητα αλλάζει στο # x = 0 #, έτσι ώστε το σημείο καμπής είναι:

# (0, π / 4) #

Τώρα σκιαγραφήστε το γράφημα