Ας υποθέσουμε ότι το g είναι μια συνάρτηση του οποίου το παράγωγο είναι g '(x) = 3x ^ 2 + 1 Is g αυξάνεται, μειώνεται, ή ούτε στο x = 0;

Απάντηση:

Αύξηση

# g '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 #, # AA ##Χ##σε## RR # Έτσι #σολ# αυξάνεται # RR # και έτσι είναι # x_0 = 0 #

Μια άλλη προσέγγιση, # g '(x) = 3x ^ 2 + 1 # #<=>#

# (g (x)) '= (x ^ 3 + x)' # #<=>#

#σολ#, # x ^ 3 + x # είναι συνεχείς # RR # και έχουν ίσα παράγωγα, επομένως υπάρχει #ντο##σε## RR # με

#g (x) = x ^ 3 + x + c #,

#ντο##σε## RR #

Υποτιθεμένος # x_1 #,# x_2 ##σε## RR # με # x_1 <## x_2 # #(1)#

# x_1 <## x_2 # #=># # x_1 ^ 3 <## x_2 ^ 3 # #=># # x_1 ^ 3 + γ <## x_2 ^ 3 + c # #(2)#

Από #(1)+(2)#

# x_1 ^ 3 + x_1 + γ <## x_2 ^ 3 + x_2 + c # #<=>#

# g (x_1) <## g (x_2) # #-># #σολ# αυξάνοντας το # RR # και έτσι στο # x_0 = 0 ##σε## RR #