Πώς να βρείτε τη γενική λύση 5 sin (x) + 2 cos (x) = 3?

Απάντηση:

# rarrx = npi + (- 1) ^ n * (sin ^ (- 1) (3 / sqrt29)) - sin ^ (- 1) (2 / sqrt29) #n inZZ #

# rarr5sinx + 2cosx = 3 #

# rarr (5sinx + 2cosx) / (sqrt (5 ^ 2 + 2 ^ 2)) = 3 /

# rarrsinx * (5 / sqrt (29)) + cosx * (2 / sqrt (29)) = 3 / sqrt29 #

Αφήνω # cosalpha = 5 / sqrt29 # έπειτα # sinalpha = sqrt (1-cos ^ 2alpha) = sqrt (1- (5 / sqrt29) ^ 2) = 2 / sqrt29 #

Επίσης, # alpha = cos ^ (- 1) (5 / sqrt29) = sin ^ (- 1) (2 / sqrt29) #

Τώρα, η εξίσωση μετατρέπεται σε

# rarrsinx * cosalpha + cosx * sinalpha = 3 / sqrt29 #

# rarrsin (x + άλφα) = sin (sin ^ (- 1) (3 / sqrt29)) #

# rarrx + sin ^ (- 1) (2 / sqrt29) = npi + (- 1) ^ n * (sin ^

# rarrx = npi + (- 1) ^ n * (sin ^ (- 1) (3 / sqrt29)) - sin ^ (- 1) (2 / sqrt29) #n inZZ #

# x = 12 ^ @ 12 + k360 ^ @ #

# x = 124 ^ @ 28 + k360 ^ @ #

5sin x + 2cos x = 3.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά 5.

#sin x + 2/5 cos x = 3/5 = 0,6 # (1)

Κλήση # t t = sin t / (cos t) = 2/5 # --> #t = 21 ^ @ 80 # -> cos t = 0,93.

Η εξίσωση (1) γίνεται:

#sin x.cos t + sin t.cos x = 0,6 (0,93) #

#sin (x + t) = sin (χ + 21,80) = 0,56 #

Ο υπολογιστής και ο κύκλος μονάδας δίνουν 2 λύσεις για (x + t) ->

ένα. χ + 21.80 = 33.92

# x = 33,92 - 21,80 = 12 ^ 12 #

σι. χ + 21.80 = 180 - 33.92 = 146.08

# x = 146,08 - 21,80 = 124 ^ 28 #

Γενικές απαντήσεις:

# x = 12 ^ @ 12 + k360 ^ @ #

# x = 124 ^ @ 28 + k360 ^ @ #

Ελέγξτε με αριθμομηχανή.

# x = 12 ^ @ 12 # -> 5sin x = 1,05 -> 2cos x = 1,95

5sin x + 2cos x = 1,05 + 1,95 = 3.

# x = 124 ^ @ 28 # -> 5sin x = 4,13 -> 2cos x = -1,13

5sin x + 2cos x = 4,13 - 1,13 = 3. Αποδεδειγμένη.