Εάν η ακτίνα μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 4 cm ανά δευτερόλεπτο, πόσο γρήγορα αυξάνεται ο όγκος όταν η διάμετρος είναι 80 cm;

Απάντηση:

12.800cm3s

Εξήγηση:

Πρόκειται για κλασικά προβλήματα σχετικών με τα επιτόκια. Η ιδέα πίσω από τους σχετικούς συντελεστές είναι ότι έχετε ένα γεωμετρικό μοντέλο που δεν αλλάζει, ακόμα και όταν οι αριθμοί αλλάζουν.

Για παράδειγμα, αυτό το σχήμα θα παραμείνει σφαίρα, ακόμη και όταν αλλάζει το μέγεθος. Η σχέση μεταξύ του όγκου του τόπου και της ακτίνας του είναι

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Όσο αυτό συμβαίνει γεωμετρική σχέση δεν αλλάζει όσο μεγαλώνει η σφαίρα, τότε μπορούμε να αντλήσουμε αυτή τη σχέση σιωπηρά και να βρούμε μια νέα σχέση μεταξύ των ρυθμών αλλαγής.

Η έμμεση διαφοροποίηση είναι όπου αντλούμε κάθε μεταβλητή στον τύπο, και σε αυτή την περίπτωση, εξαγάγουμε τον τύπο σε σχέση με το χρόνο.

Έτσι παίρνουμε το παράγωγο της σφαίρας μας:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Μας δόθηκαν πραγματικά # (dr) / (dt) #. Του # 4 (cm) / s #.

Μας ενδιαφέρει η στιγμή που το διάμετρος είναι 80 cm, το οποίο είναι όταν το ακτίνα κύκλου θα είναι 40 cm.

Ο ρυθμός αύξησης του όγκου είναι # (dV) / (dt) #, που είναι αυτό που ψάχνουμε, έτσι:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12.800 (cm ^ 3) / s #

Και οι μονάδες λειτουργούν σωστά, καθώς πρέπει να έχουμε μια ένταση χωρισμένη από το χρόνο.

Ελπίζω αυτό να σας βοηθήσει.

Χρησιμοποιώντας έναν στροφαλοφόρο άξονα, ένας ξυλουργός τρυπά μια τρύπα, με ακτίνα 1 εκατοστό, μέσω μιας ξύλινης σφαίρας κατά μήκος μιας διαμέτρου. Εάν η ακτίνα της σφαίρας είναι 4 cm, ποιος είναι ο όγκος του ξύλου που παραμένει;

Δείτε την παρακάτω απάντηση:

Ο όγκος ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 20 κυβικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. Πόσο γρήγορα, σε τετραγωνικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο, η επιφάνεια του κύβου αυξάνεται τη στιγμή που κάθε άκρη του κύβου έχει μήκος 10 εκατοστά;

Θεωρούμε ότι η άκρη του κύβου ποικίλει με το χρόνο, έτσι ώστε να είναι συνάρτηση του χρόνου l (t). Έτσι:

Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;

Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ